KONSEP PERSAMAAN LINIER TAK HOMOGEN
Persamaan linier takhomogen orde n mempunyai bentuk :
(P0 Dn + P1 Dn-1 + P2 Dn-2 + . . . + Pn-1 D + Pn)y = 0
Dengan P0 ≠ 0, P1, P2, P3, . . . , Pn adalah konstanta sembarang, dan Q(x) ≠ 0.
Solusi umum PD tak homogen adalah
Y = Yc(x) + Yp(x)
Dimana Yc(x) = fungsi komplementer (solusi umum PD limier homogen)
Yp(x) = fungsi partikulir
1. Fungsi komplementer Yc(x) merupakan solusi umum PD linier homogen yang telah dibahas sebelumnya.
Langkah-langkah menentukan Yc(x)
ü Bentuk umum PD linier homogen
(P0 Dn + P1 Dn-1 + P2 Dn-2 + . . . + Pn-1 D + Pn)y = 0
F(D)y = 0
ü Substitusi y = eλx dan turunan-turunannya sehingga bentuk PD menjadi P0 λn + P1 λn-1 + P2 λn-2 + . . . + Pn-1 λ + Pn = 0
Persamaan diatas merupakan persamaan karakteristik.
ü Persamaan karakteristik ini dapat difaktorkan sehingga diperoleh λ1, λ2, λ3, . . . , λn.
ü Dalam teorema dasar superposisi bahwa jika y1(x), y2(x), . . . , yn(x) adalah n solusi yang bebas linier dari PD orde n F(D)y = 0 maka :
y = c1 y1(x) + c2 y2(x) + c3 y3(x) + . . . + cn yn(x),
Dimana c1, c2, c3, . . . , cn adalah konstanta sembarang, dinamakan solusi umum F(D)y = 0
ü Berdasarkan jenis akar-akar dari persamaan karakteristik ada 3 kasus yang perlu diperhatikan didalam menentukan solusi umum :
Kasus 1 : semua akar riil dan berbeda, yaitu :
λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 ≠ . . . ≠ λn-1 ≠ λn
solusi umum PD adalah :
y = c1 eλ1x + c2 eλ2x + c3 eλ3x + . . . + cn eλnx
kasus 2 : jika λ1 = λ2 ≠ λ3 ≠ . . . ≠ λn-1 ≠ λn
solusi umum PD adalah :
y = c1 eλ1x + c2 eλ2x + c3 eλ3x + . . . + cn eλnx.
Secara umum, jika λ terjadi r kali, maka solusi umum PD :
y = (c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3 + . . . + cr xr-1) eλx + cr+1 eλr+1x + . . . +cn-1 eλn-1x +cn eλnx.
Kasus 3 : beberapa akarnya merupakan akar komplex.
Jika P0, P1, P2, . . . , Pn adalah riil dan jika a+ bi akar komplex dan demikian juga dengan a – bi (dimana a dan b adalah riil) maka solusi umum yang berkaitan dengan akar-akar komplex ini adalah :
y = eax [ c1 cos bx + c2 sin bx ]
Dengan memperhatikan ketiga kasus dari jenis-jenis akar-akar persamaan karakteristik maka solusi umum PD linier homogen atau solusi komplementer dapat ditentukan.
2. Solusi partikulir Yp(x) dapat diperoleh dengan menggunakan Metode Variasi Parameter.
Fungsi komplementer Yc(x) dari PD linier tak homogen adalah berbentuk :
Yc(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + c3 y3(x) + . . . + cn yn(x)
Gantilah konstanta-konstanta sembarang c1, c2, c3, . . . , cn dengan fungsi tak diketahui L dari x yaitu :
Yp = L1(x) y1(x) + L2(x) y2(x) + . . . + Ln(x) yn(x)
Sedemikian hinggamerupakan suatu solusi dari F(D)y = Q.
Dan ini yang berperan sebagai solusi partikulirnya setelah L1, L2, L3, . . . , Ln ditentukan.
Langkah-langkah menentukan Yp(x) dengan Metode Variasi Parameter adalah sebagai berikut :
ü Tulis fungsi komplementernya
Yc = c1 y1(x) + c2 y2(x) + . . . + cn yn(x)
ü Gantilah semua konstanta sembarang c dengan fungsi tak diketahui L dari x yaitu :
Yp = L1(x) y1(x) + L2(x) y2(x) + . . . + Ln(x) yn(x)
ü Untuk menetukan L1(x), L2(x), . . . , Ln(x), diferensiasikan
Yp = L1(x) y1(x) + L2(x) y2(x) + . . . + Ln(x) yn(x) sebanyak orde dari persamaan diferensialnya.
Setelah setiap diferensiasi, kumpulan jumlahan dari semua bagian yang memuat derivatif dari L sama dengan 0 (nol).
Kecuali setelah diferensiasi yang terakhir, kumpulan jumlahan dari semua bagian yang memuat derivatif dari L sama dengan Q.
ü Hitung L1, L2, L3, . . . , Ln.
ü Tentukan L1, L2, L3, . . . , Ln dengan integrasi.
ü Dengan demikian solusi partikulir sudah diperoleh yaitu :
Yp = L1(x) y1(x) + L2(x) y2(x) + . . . + Ln(x) yn(x)
Setelah diperoleh solusi komplementer dan solusi partikulirnya maka Persamaan Diferensial Tak Homogen dapat ditemukan.
